На координатной плоскости изображены вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Найдите косинус угла между ними.

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту задачу вместе. 1. Определяем координаты векторов. Сначала нам нужно определить координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) по графику. Вектор \(\vec{a}\) начинается в точке (0,0) и заканчивается в точке (3,1). Следовательно, координаты вектора \(\vec{a}\) равны (3, 1). Вектор \(\vec{b}\) начинается в точке (0,0) и заканчивается в точке (2,3). Следовательно, координаты вектора \(\vec{b}\) равны (2, 3). 2. Используем формулу для косинуса угла между векторами. Косинус угла \(\theta\) между двумя векторами \(\vec{a} = (x_1, y_1)\) и \(\vec{b} = (x_2, y_2)\) можно найти по формуле: \(\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\) где \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) - скалярное произведение векторов, а \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) - их длины. 3. Вычисляем скалярное произведение векторов. Скалярное произведение векторов \(\vec{a} = (3, 1)\) и \(\vec{b} = (2, 3)\) вычисляется следующим образом: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 = 3 \cdot 2 + 1 \cdot 3 = 6 + 3 = 9\) 4. Вычисляем длины векторов. Длина вектора \(\vec{a} = (3, 1)\) вычисляется как: \(|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\) Длина вектора \(\vec{b} = (2, 3)\) вычисляется как: \(|\vec{b}| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\) 5. Вычисляем косинус угла. Теперь подставляем найденные значения в формулу для косинуса угла: \(\cos{\theta} = \frac{9}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{13}} = \frac{9}{\sqrt{130}}\) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{130}\): \(\cos{\theta} = \frac{9\sqrt{130}}{130}\) Таким образом, косинус угла между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен \(\frac{9\sqrt{130}}{130}\). Надеюсь, теперь все понятно!