На координатной плоскости изображены векторы $$\vec{d}$$ и $$\vec{u}$$. Найдите косинус угла между векторами $$\vec{d}$$ и $$\vec{u}$$.

Для решения этой задачи нам нужно определить координаты векторов $$\vec{d}$$ и $$\vec{u}$$, а затем воспользоваться формулой для нахождения косинуса угла между двумя векторами.

1. Определение координат векторов:

Из рисунка видно, что вектор $$\vec{d}$$ начинается в точке (3, 4) и заканчивается в точке (7, 4). Следовательно, координаты вектора $$\vec{d}$$ равны (7-3, 4-4) = (4, 0).

Вектор $$\vec{u}$$ начинается в точке (7, 4) и заканчивается в точке (10, 2). Следовательно, координаты вектора $$\vec{u}$$ равны (10-7, 2-4) = (3, -2).

Итак, $$\vec{d} = (4, 0)$$ и $$\vec{u} = (3, -2)$$.

2. Формула косинуса угла между векторами:

Косинус угла между двумя векторами $$\vec{a} = (x_1, y_1)$$ и $$\vec{b} = (x_2, y_2)$$ вычисляется по формуле:

$$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$$

3. Подстановка значений и вычисление:

Подставим координаты наших векторов $$\vec{d}$$ и $$\vec{u}$$ в формулу:

$$\cos(\theta) = \frac{(4 \cdot 3) + (0 \cdot -2)}{\sqrt{4^2 + 0^2} \cdot \sqrt{3^2 + (-2)^2}} = \frac{12 + 0}{\sqrt{16} \cdot \sqrt{9 + 4}} = \frac{12}{4 \cdot \sqrt{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}}$$

4. Упрощение ответа (избавление от иррациональности в знаменателе):

Умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{13}$$:

$$\cos(\theta) = \frac{3}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13}$$

Ответ: $$\frac{3\sqrt{13}}{13}$$