На координатной плоскости постройте треугольник АВС, если А(4; 5), B(-3;2), C(5; -4). Запишите координаты точек пересечения сторон треугольника с прямой MN.

Решение:

Построим треугольник АВС на координатной плоскости с заданными вершинами:

• A(4; 5)
• B(-3; 2)
• C(5; -4)

Прямая MN проходит через точки M(0; 4) и N(1; -2).

Найдем уравнение прямой MN. Угловой коэффициент k:

\( k = \frac{-2 - 4}{1 - 0} = \frac{-6}{1} = -6 \)

Уравнение прямой: \( y - y_1 = k(x - x_1) \)

\( y - 4 = -6(x - 0) \)

\( y - 4 = -6x \)

\( y = -6x + 4 \)

Теперь найдем точки пересечения сторон треугольника с прямой MN.

1. Пересечение стороны AB с прямой MN.

Уравнение прямой AB:

\( k_{AB} = \frac{2 - 5}{-3 - 4} = \frac{-3}{-7} = \frac{3}{7} \)

\( y - 5 = \frac{3}{7}(x - 4) \)

\( 7(y - 5) = 3(x - 4) \)

\( 7y - 35 = 3x - 12 \)

\( 7y = 3x + 23 \)

Приравниваем y из уравнения MN и AB:

\( -6x + 4 = \frac{3x + 23}{7} \)

\( 7(-6x + 4) = 3x + 23 \)

\( -42x + 28 = 3x + 23 \)

\( 5 = 45x \)

\( x = \frac{5}{45} = \frac{1}{9} \)

Найдем y:

\( y = -6 \times \frac{1}{9} + 4 = -\frac{6}{9} + 4 = -\frac{2}{3} + \frac{12}{3} = \frac{10}{3} \)

Точка пересечения стороны AB с MN: \( (\frac{1}{9}; \frac{10}{3}) \)

2. Пересечение стороны BC с прямой MN.

Уравнение прямой BC:

\( k_{BC} = \frac{-4 - 2}{5 - (-3)} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4} \)

\( y - 2 = -\frac{3}{4}(x - (-3)) \)

\( 4(y - 2) = -3(x + 3) \)

\( 4y - 8 = -3x - 9 \)

\( 4y = -3x - 1 \)

Приравниваем y из уравнения MN и BC:

\( -6x + 4 = \frac{-3x - 1}{4} \)

\( 4(-6x + 4) = -3x - 1 \)

\( -24x + 16 = -3x - 1 \)

\( 17 = 21x \)

\( x = \frac{17}{21} \)

Найдем y:

\( y = -6 \times \frac{17}{21} + 4 = -\frac{102}{21} + \frac{84}{21} = -\frac{18}{21} = -\frac{6}{7} \)

Точка пересечения стороны BC с MN: \( (\frac{17}{21}; -\frac{6}{7}) \)

3. Пересечение стороны AC с прямой MN.

Уравнение прямой AC:

\( k_{AC} = \frac{-4 - 5}{5 - 4} = \frac{-9}{1} = -9 \)

\( y - 5 = -9(x - 4) \)

\( y - 5 = -9x + 36 \)

\( y = -9x + 41 \)

Приравниваем y из уравнения MN и AC:

\( -6x + 4 = -9x + 41 \)

\( 3x = 37 \)

\( x = \frac{37}{3} \)

Найдем y:

\( y = -6 \times \frac{37}{3} + 4 = -2 \times 37 + 4 = -74 + 4 = -70 \)

Точка пересечения стороны AC с MN: \( (\frac{37}{3}; -70) \)

Ответ: Координаты точек пересечения сторон треугольника с прямой MN: \( (\frac{1}{9}; \frac{10}{3}) \), \( (\frac{17}{21}; -\frac{6}{7}) \), \( (\frac{37}{3}; -70) \).