На координатной плоскости проведите прямую MN через точки М(-4; -2) и N(5; 4). Определите координаты точки пересечения прямой MN с осью Ох и прямой, соединяющей точки К(-9; 4) и D (-6; -8).

Решение:

1. Найдём уравнение прямой MN.

1. Угловой коэффициент \( k_{MN} \) прямой MN:
   \( k_{MN} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - (-2)}{5 - (-4)} = \frac{4 + 2}{5 + 4} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)
2. Уравнение прямой MN: \( y - y_1 = k_{MN}(x - x_1) \)
   \( y - (-2) = \frac{2}{3}(x - (-4)) \)
   \( y + 2 = \frac{2}{3}(x + 4) \)
   \( y + 2 = \frac{2}{3}x + \frac{8}{3} \)
   \( y = \frac{2}{3}x + \frac{8}{3} - 2 \)
   \( y = \frac{2}{3}x + \frac{8 - 6}{3} \)
   \( y = \frac{2}{3}x + \frac{2}{3} \)

2. Найдём точку пересечения прямой MN с осью Ох.

На оси Ох \( y = 0 \). Подставим это значение в уравнение прямой MN:

\( 0 = \frac{2}{3}x + \frac{2}{3} \)
\( -\frac{2}{3} = \frac{2}{3}x \)
\( x = -1 \)

Точка пересечения прямой MN с осью Ох: \( (-1; 0) \).

3. Найдём уравнение прямой KD.

1. Угловой коэффициент \( k_{KD} \) прямой KD:
   \( k_{KD} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-8 - 4}{-6 - (-9)} = \frac{-12}{-6 + 9} = \frac{-12}{3} = -4 \)
2. Уравнение прямой KD: \( y - y_1 = k_{KD}(x - x_1) \)
   \( y - 4 = -4(x - (-9)) \)
   \( y - 4 = -4(x + 9) \)
   \( y - 4 = -4x - 36 \)
   \( y = -4x - 36 + 4 \)
   \( y = -4x - 32 \)

4. Найдём точку пересечения прямой MN и прямой KD.

Приравняем уравнения двух прямых:

\( \frac{2}{3}x + \frac{2}{3} = -4x - 32 \)
Умножим обе части на 3:
\( 2x + 2 = -12x - 96 \)
\( 2x + 12x = -96 - 2 \)
\( 14x = -98 \)
\( x = \frac{-98}{14} \)
\( x = -7 \)

Теперь найдём \( y \), подставив \( x = -7 \) в уравнение прямой KD:

\( y = -4(-7) - 32 \)
\( y = 28 - 32 \)
\( y = -4 \)

Точка пересечения прямых MN и KD: \( (-7; -4) \).

Ответ: Точка пересечения прямой MN с осью Ох: (-1; 0). Точка пересечения прямых MN и KD: (-7; -4).