Решение задач:

Задача 1:

На луче с началом в точке А отмечены точки В и С. Известно, что АВ = 10,3 см, ВС = 2,4 см. Какую длину может иметь отрезок АС?

Решение:

Возможны два случая:

1. Точка В лежит между А и С. Тогда AC = AB + BC = 10,3 см + 2,4 см = 12,7 см.
2. Точка С лежит между А и В. Тогда AC = AB - BC = 10,3 см - 2,4 см = 7,9 см.

Ответ: Отрезок AC может иметь длину 12,7 см или 7,9 см.

Задача 2:

Разность двух углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна 42°. Найдите все образовавшиеся углы.

Решение:

При пересечении двух прямых образуются две пары равных углов (вертикальные углы). Пусть x и y – эти углы. Тогда x - y = 42°. Также известно, что x + y = 180° (как смежные углы). Решим систему уравнений:

$$x - y = 42$$

$$x + y = 180$$

Сложим два уравнения:

$$2x = 222$$

$$x = 111$$

Тогда y = 180 - x = 180 - 111 = 69.

Таким образом, углы равны 111°, 111°, 69° и 69°.

Ответ: 111°, 111°, 69° и 69°.

Задача 3:

Один из смежных углов в пять раз больше другого. Найдите углы, которые образует биссектриса большего угла со сторонами меньшего.

Решение:

Пусть меньший угол равен x, тогда больший угол равен 5x. Сумма смежных углов равна 180°:

$$x + 5x = 180$$

$$6x = 180$$

$$x = 30$$

Меньший угол равен 30°, больший угол равен 5 × 30 = 150°.

Биссектриса делит больший угол пополам, поэтому угол между биссектрисой и стороной большего угла равен 150° / 2 = 75°.

Угол между биссектрисой и стороной меньшего угла равен 30° + 75° = 105°.

Ответ: Биссектриса образует углы 75° и 105° со сторонами меньшего угла.

Задача 4*:

Прямые АВ и CD пересекаются в точке О. ОК — биссектриса угла AOD, ∠COK = 118°. Найдите величину угла BOD.

Решение:

Так как ОК — биссектриса угла AOD, то ∠AOK = ∠DOK.

Известно, что ∠COK = 118°. ∠COK = ∠AOC + ∠AOK = 118°.

∠AOC и ∠BOD - вертикальные, значит ∠AOC = ∠BOD.

∠AOD и ∠AOC - смежные, значит ∠AOD + ∠AOC = 180°.

∠AOK = ∠DOK = ∠AOD / 2

∠COK = ∠AOC + ∠AOK = 118°

∠AOC = 180° - ∠AOD

180° - ∠AOD + ∠AOD / 2 = 118°

180° - 118° = ∠AOD - ∠AOD / 2

62° = ∠AOD / 2

∠AOD = 124°

∠AOC = 180° - 124° = 56°

∠BOD = ∠AOC = 56°

Ответ: ∠BOD = 56°