Решение задачи №1

Пусть AM - медиана треугольника ABC, точка P лежит на AM так, что AP:PM = 1:3. Прямая, проходящая через P параллельно AC, пересекает BC в точке K. Нужно найти отношение BK:KC.

1. Рассмотрим треугольник ABC. Так как AM - медиана, то M - середина BC, то есть BM = MC.

2. Пусть прямая, проходящая через P параллельно AC, пересекает AB в точке N. Тогда NP || AC.

3. Рассмотрим треугольник ABM. В нем NP || AM. По теореме Фалеса (или теореме о пропорциональных отрезках):

$$ \frac{BN}{NA} = \frac{BP}{PM} $$, где BP = BK и KC= KM.

Но нам дано, что $$ AP:PM = 1:3 $$, следовательно, $$ \frac{AP}{PM} = \frac{1}{3} $$.

4. Из подобия треугольников ANP и ABC следует:

$$ \frac{BK}{KC} = \frac{BN}{NA} $$.

Так как NP || AC, то по теореме Фалеса:

$$ \frac{AP}{AM} = \frac{BK}{BC} $$.

5. Выразим AM через AP и PM: AM = AP + PM. Учитывая, что AP:PM = 1:3, можно сказать, что PM = 3AP. Тогда AM = AP + 3AP = 4AP.

6. Подставим найденное выражение для AM в пропорцию из пункта 4:

$$ \frac{AP}{4AP} = \frac{BK}{BC} $$

$$ \frac{1}{4} = \frac{BK}{BC} $$

Значит, BK составляет 1/4 часть BC. Тогда KC = BC - BK = BC - (1/4)BC = (3/4)BC.

7. Найдем отношение BK:KC:

$$ \frac{BK}{KC} = \frac{\frac{1}{4}BC}{\frac{3}{4}BC} = \frac{1}{3} $$

Ответ: BK:KC = 1:3.