На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что \( \angle NBA = 69^{\circ} \). Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Так как \( AB \) — диаметр окружности, то угол \( ANB \), опирающийся на диаметр, является прямым, то есть \( \angle ANB = 90^{\circ} \).

В треугольнике \( \triangle ANB \):

\( \angle NAB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle NBA = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 69^{\circ} = 21^{\circ} \).

Углы \( ANM \) и \( ABM \) опираются на одну дугу \( AM \), следовательно, \( \angle ANM = \angle ABM \).

Углы \( NAM \) и \( NBM \) опираются на одну дугу \( NM \), следовательно, \( \angle NAM = \angle NBM \).

Углы \( MNB \) и \( MAB \) опираются на одну дугу \( MB \), следовательно, \( \angle MNB = \angle MAB \).

Мы знаем, что \( \angle NBA = 69^{\circ} \). Так как \( AB \) — диаметр, то \( \angle AMB = 90^{\circ} \) (опирается на диаметр).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle AMB \):

\( \angle MAB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle MBA \)

Нам нужно найти \( \angle NMB \).

Рассмотрим вписанные углы:

Угол \( NMB \) и угол \( NAB \) опираются на одну дугу \( NB \). Следовательно, \( \angle NMB = \angle NAB \).

Мы уже нашли \( \angle NAB = 21^{\circ} \).

Ответ: 21