152 На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ — прямой. Отрезок ВС — диаметр окружности. Докажите, что хорды АВ и АС равны.

Дано: окружность с центром O, точки A и B на окружности, $$\angle AOB$$ - прямой, BC - диаметр.

Доказать: AB = AC.

Доказательство:

1. Т.к. $$\angle AOB$$ - прямой, то $$\angle AOB = 90^\circ$$.
2. Угол BAC - вписанный и опирается на диаметр BC, следовательно, $$\angle BAC$$ - прямой, а $$\angle BAC = 90^\circ$$.
3. Рассмотрим треугольник $$\Delta ABC$$:
4. Т.к. $$\angle BAC = 90^\circ$$, то треугольник $$\Delta ABC$$ - прямоугольный.
5. AO = BO = CO = R (радиусы окружности).
6. Т.к. BO = AO, то треугольник $$\Delta AOB$$ - равнобедренный.
7. Т.к. треугольник $$\Delta AOB$$ - равнобедренный и $$\angle AOB = 90^\circ$$, то $$\angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ$$.
8. Следовательно, $$\angle ACB = 90^\circ - \angle OBA = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$$.
9. Т.к. $$\angle ACB = \angle OBA = 45^\circ$$, то треугольник $$\Delta ABC$$ - равнобедренный.
10. Следовательно, AB = AC, что и требовалось доказать.

Ответ: хорды AB и AC равны.