3. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точки М и К так, что ∠ABM=∠CBK, точка М лежит между точками А и К. Докажите, что АМ = CK.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как он равнобедренный, то AB = BC и углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠BCA.

Дано: ∠ABM = ∠CBK.

Тогда ∠MBA = ∠KBC.

Рассмотрим треугольники ABM и CBK:

AB = BC (как боковые стороны равнобедренного треугольника);

∠BAM = ∠BCK (как углы при основании равнобедренного треугольника);

∠ABM = ∠CBK (по условию).

Значит, треугольники ABM и CBK равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Следовательно, AM = CK (как соответственные стороны равных треугольников).

Ответ: AM = CK