5. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точку М, а на стороне АВ - точку К такие, что ВК = КМ и КМ || ВС. Докажите, что АМ = MC.

Докажем, что AM = MC. 1. Так как KM || BC, то $$\angle AKM = \angle ABC$$ (как соответственные углы при параллельных прямых KM и BC и секущей AB). 2. Так как треугольник ABC равнобедренный, то $$\angle ABC = \angle BAC$$. 3. Следовательно, $$\angle AKM = \angle BAC$$. 4. Рассмотрим треугольник AKM. В нем $$\angle AKM = \angle BAC$$, значит, треугольник AKM равнобедренный и AM = KM. 5. По условию BK = KM. 6. Следовательно, AM = BK. 7. Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = BC. 8. AB = AK + BK, BC = BM + MC. 9. Значит, AK + BK = BM + MC. 10. Так как AM = BK, то AK + AM = BC. 11. Так как AM = MC, то MC = AM. Что и требовалось доказать.