3. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точки М и К так, что LABM=∠CBK, точка М лежит между точками А и К. Докажите, что АМ = CK.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Так как треугольник равнобедренный, то AB = BC и ∠BAC = ∠BCA.

Дано: ∠ABM = ∠CBK.

Докажем, что AM = CK.

1. ∠ABM = ∠CBK (по условию).
2. ∠ABC = ∠ABM + ∠MBC и ∠ABC = ∠CBK + ∠KBA.
3. Так как ∠ABM = ∠CBK, то ∠MBC = ∠KBA.
4. Рассмотрим треугольники ABM и CBK. У них AB = BC (как стороны равнобедренного треугольника ABC), ∠ABM = ∠CBK (по условию) и ∠BAM = ∠BCK (так как ABC - равнобедренный).
5. Следовательно, треугольники ABM и CBK равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
6. Из равенства треугольников следует, что AM = CK.

Ответ: AM = CK, доказано.