На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 68 и BC = 17. Построена окружность с центром в точке A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки B к этой окружности.

Решение:

Так как окружность построена с центром в точке A и проходит через C, то радиус окружности равен AC.

\( R = AC = 68 \).

Отрезок BC дан, \( BC = 17 \).

К отрезку касательной, проведенному из точки B к окружности, и радиусу, проведенному в точку касания, образуют прямой угол. Пусть точка касания будет T. Тогда \( \triangle ATB \) — прямоугольный треугольник с прямым углом \( \angle ATB = 90^{\circ} \).

В этом треугольнике гипотенузой является отрезок AB, так как он лежит напротив прямого угла. Длина AB равна сумме AC и CB:

\( AB = AC + CB = 68 + 17 = 85 \).

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике \( \triangle ATB \):

\( AB^2 = AT^2 + BT^2 \)

где \( AT = R = 68 \) (радиус окружности) и \( BT \) — длина касательной, которую мы ищем.

\( 85^2 = 68^2 + BT^2 \)

\( 7225 = 4624 + BT^2 \)

\( BT^2 = 7225 - 4624 \)

\( BT^2 = 2601 \)

\( BT = \sqrt{2601} \)

\( BT = 51 \)

Ответ: 51