Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0, 96. Диаметр описанной около него окружности равен 25. Найдите площадь прямоугольника.

Дано:

• Пусть $$ \text{сторона } = a $$, $$ \text{сторона } = b $$.
• Синус угла $$ \text{между } a \text{ и } d $$ (диагональю) $$ \text{sin } \text{ a} = 0.96 $$.
• Диаметр описанной окружности $$ D = 25 $$.

Решение:

1. Диаметр описанной окружности прямоугольника равен его диагонали. Значит, $$ d = 25 $$.
2. В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами $$ a $$, $$ b $$ и диагональю $$ d $$, синус одного из острых углов (например, угла между стороной $$ b $$ и диагональю $$ d $$) равен отношению противолежащего катета $$ a $$ к гипотенузе $$ d $$: $$ \text{sin } \beta = \frac{a}{d} $$.
3. Тогда $$ a = d \times \text{sin } \beta $$.
4. По условию, синус угла между стороной и диагональю равен 0,96. Пусть этот угол $$ \beta $$. Тогда $$ a = 25 \times 0.96 = 24 $$.
5. Найдем вторую сторону $$ b $$ по теореме Пифагора: $$ a^2 + b^2 = d^2 $$. $$ 24^2 + b^2 = 25^2 $$. $$ 576 + b^2 = 625 $$. $$ b^2 = 625 - 576 = 49 $$. $$ b = \text{sqrt}(49) = 7 $$.
6. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: $$ S = a \times b = 24 \times 7 = 168 $$.

Ответ: 168