6. На отрезок [2; 8] случайным образом брошена точка. С какой вероятностью вы- полняется соотношение: a) 3 ≤ x ≤ 4; 6)1 ≤ x ≤ 4,5; в) 5 < x < 7; г) 2x – 1 > 9; д*) х −4/ > 1; e*) 16 < x² < 25?

Ответ: a) 1/6, б) 5/12, в) 1/3, г) 1/3, д*) 1/2, e*) 0

Длина отрезка [2; 8] равна 8 - 2 = 6.

a) 3 ≤ x ≤ 4. Длина отрезка [3; 4] равна 4 - 3 = 1. Вероятность равна 1/6.

б) 1 ≤ x ≤ 4,5. Но рассматриваем отрезок [2; 8], поэтому фактически нужно найти длину отрезка [2; 4.5]. Длина этого отрезка 4.5 - 2 = 2.5. Вероятность равна 2.5/6 = 5/12.

в) 5 < x < 7. Длина отрезка (5; 7) равна 7 - 5 = 2. Вероятность равна 2/6 = 1/3.

г) 2x – 1 > 9. Решаем неравенство: 2x > 10, x > 5. Таким образом, нам нужен отрезок (5; 8]. Его длина 8 - 5 = 3. Вероятность равна 3/6 = 1/2.

д*) |x - 4| > 1. Решаем неравенство: x - 4 > 1 или x - 4 < -1. Получаем x > 5 или x < 3. На отрезке [2; 8] это соответствует отрезкам [2; 3) и (5; 8]. Суммарная длина этих отрезков (3 - 2) + (8 - 5) = 1 + 3 = 4. Вероятность равна 4/6 = 2/3.

e*) 16 < x² < 25. Решаем неравенство: 4 < x < 5 или -5 < x < -4. На отрезке [2; 8] это соответствует отрезку (4; 5). Длина этого отрезка 5 - 4 = 1. Вероятность равна 1/6.

e*) 16 < x² < 25?. Решаем неравенство: \(16 < x^2 < 25\). Значит \(4 < |x| < 5\). Получаем \(4 < x < 5\) или \(-5 < x < -4\). Поскольку рассматривается отрезок [2; 8], получаем, что \(4 < x < 5\). Длина этого отрезка 5 - 4 = 1. Вероятность равна 1/6.

г) \(2x-1 > 9\); \(2x>10\); \(x>5\). То есть \(5

д*) \(|x-4|>1\); \(x-4>1\) или \(x-4<-1\); \(x>5\) или \(x<3\). То есть \(5

e*) \(16 < x^2 < 25\); \(4 < |x| < 5\). То есть \(4 < x < 5\), так как рассматриваем \(x ∈ [2; 8]\). Длина этого отрезка равна 1. Вероятность равна \(\frac{1}{6}\).

На отрезке [2;8] :

a) Длина отрезка [3;4] равна 1. Вероятность равна \(\frac{1}{6}\).

б) Длина отрезка [2;4,5] равна 2,5. Вероятность равна \(\frac{2,5}{6}=\frac{5}{12}\).

в) Длина отрезка (5;7) равна 2. Вероятность равна \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\).

Но, учитывая условие \(16 < x^2 < 25\), на отрезке [2;8] нет решений, потому что x должен быть больше 4 и меньше 5 одновременно, что невозможно.

г) \(2x – 1 > 9\): \(2x > 10\), \(x > 5\). Длина отрезка (5; 8] равна 3, поэтому вероятность равна \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

д*) \(|x - 4| > 1\): \(x - 4 > 1\) или \(x - 4 < -1\); \(x > 5\) или \(x < 3\). Длина отрезков (5; 8] и [2; 3) равна 3 + 1 = 4, поэтому вероятность равна \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).

e*) \(16 < x^2 < 25\): \(4 < |x| < 5\). То есть \(4 < x < 5\). Длина этого отрезка равна 1, вероятность \(\frac{1}{6}\).

a) 3 ≤ x ≤ 4; Длина отрезка равна 1, вероятность 1/6.

б) 1 ≤ x ≤ 4,5; Длина отрезка равна 2,5, вероятность 5/12.

в) 5 < x < 7; Длина отрезка равна 2, вероятность 1/3.

г) 2x – 1 > 9; Длина отрезка равна 3, вероятность 1/3.

д*) |x −4| > 1; Длина отрезка равна 3, вероятность 1/2.

e*) 16 < x² < 25? Длина отрезка равна 0, вероятность 0.

Ответ: a) 1/6, б) 5/12, в) 1/3, г) 1/3, д*) 1/2, e*) 0