На плоскости дан угол. Окружность пересекает стороны этого угла, образуя две хорды, длина которых равна расстоянию от центра окружности до вершины угла (рис. 14). Найдите величину угла, если известно, что полученные хорды видны из центра окружности под прямым углом.

Привет, ребята! Давайте разберемся с этой геометрической задачей. У нас есть угол, стороны которого пересекает окружность, образуя две хорды. Эти хорды имеют длину, равную расстоянию от центра окружности до вершины угла. Известно, что хорды видны из центра окружности под прямым углом. Наша задача – найти величину этого угла. 1. Обозначения: * Пусть O – центр окружности. * A – вершина угла. * B и C – точки пересечения окружности со сторонами угла, образующие хорды AB и AC, соответственно. * По условию, OA = AB = AC. * Угол между хордами, видимый из центра, ∠BOC = 90°. 2. Анализ треугольников: * Треугольники ΔOAB и ΔOAC – равнобедренные, так как OA = AB и OA = AC, соответственно. Значит, углы при их основаниях равны. 3. Определение углов при основании: * Пусть ∠OAB = ∠AOB = α и ∠OAC = ∠AOC = β. 4. Угол BOC: * Из условия известно, что ∠BOC = 90°. 5. Сумма углов: * Рассмотрим четырехугольник ABOC. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. * ∠BAC + ∠ABO + ∠BOC + ∠OCA = 360°. * ∠BAC + (180° - 2α) + (180° - 2β) + 90° = 360°. * Из этого следует, что ∠ABO = 180° - 2α, ∠OCA = 180° - 2β. * Также нам известно, что ∠BOC = ∠BOA + ∠AOC = α + β = 90°. 6. Угол при вершине A (∠BAC): * Обозначим ∠BAC = γ. Тогда в треугольнике ΔABC: * γ + (180° - 2α) + (180° - 2β) = 360°. * γ = 180° - (180° - α) - (180° - β) = 180° - 2(α + β). * γ = 180° - 2 * 90°. * Следовательно, γ = 180° - 2(180° - 90°) = 180° - 180°. 7. Находим ∠BAC: * Рассмотрим сумму углов четырехугольника ABOC: ∠BAC + ∠OBA + ∠OCA + ∠BOC = 360° * Где ∠OBA = ∠OCA = 90 - ∠BOA = 90 - ∠COA, следовательно ∠OBA = ∠OCA = 90 - α * Получаем: ∠BAC + (90 - α) + (90 - α) + 90 = 360, ∠BAC = 90 + 2α * Рассмотрим треугольник ABO. Он равнобедренный, значит углы при основании равны. ∠BAO = ∠BOA = α * ∠ABO = 180 - 2α. ∠ABO = ∠OBA = 90 - α, следовательно 180 - 2α = 90 - α, α = 90 * Подставим в формулу ∠BAC = 90 + 2α, ∠BAC = 90 + 2 * 90 = 90 + 180 = 270 - невозможно * Получается что ∠BOC = 90, ∠ABO = ∠ACO = 45 * 180 - 2α = 45, 2α = 135, α = 67.5 * ∠BAC = 180 - 2α = 180 - 2 * 67.5 = 180 - 135 = 45 * Тогда ∠BAC = 45°. Ответ: Величина угла равна 45°.