На плоскости нарисована бесконечная треугольная сетка (она состоит из равносторонних треугольников со стороной 1). Ефим закрасил 10 клеток сетки. Затем он посчитал сумму периметров всех фигур, образованных закрашенными клетками. Чему она могла оказаться равной?

Для решения данной задачи, нам необходимо понять, как меняется периметр в зависимости от того, как расположены закрашенные клетки. Будем рассматривать случаи, когда 10 клеток образуют различные фигуры.

1. Все 10 клеток расположены в ряд. В этом случае, фигура будет состоять из 10 треугольников, соединенных сторонами. Каждый треугольник имеет периметр 3. Если треугольники соединены, то каждая общая сторона не входит в общий периметр фигуры. Для 10 треугольников в ряд, количество общих сторон равно 9. Таким образом, общая длина периметра равна: $$10 \cdot 3 - 9 \cdot 2 = 30 - 18 = 12$$.

2. Клетки образуют одну непрерывную фигуру, например, шестиугольник, окруженный клетками. В таком случае, фигура будет компактной, и периметр будет меньше, чем в первом случае.

3. Клетки расположены разрозненно, не образуя связных фигур. В этом случае периметр будет максимальным, так как каждая клетка будет добавлять свой полный периметр (3) к общей сумме периметров. Для 10 отдельных клеток сумма периметров будет: $$10 \cdot 3 = 30$$.

Из условия задачи сказано, что нужно найти сумму периметров фигур, образованных закрашенными клетками. Из анализа разных случаев можно сделать вывод, что сумма периметров будет зависеть от того, как сгруппированы закрашенные клетки.

Рассмотрим случай, когда клетки образуют одну непрерывную фигуру с минимальным периметром. Например, они образуют фигуру, близкую к кругу или шестиугольнику. В этом случае, фигура будет иметь меньше внешних сторон, и следовательно, периметр будет меньше.

Таким образом, возможные значения периметра могут варьироваться в зависимости от формы фигуры, образованной закрашенными клетками. Если все клетки образуют одну линию, периметр будет 12. Если они разделены, периметр будет 30. Если они образуют компактную фигуру, периметр будет где-то между этими значениями.

Исходя из возможных вариантов, можно сказать, что сумма периметров может быть между 12 и 30. Для уточнения ответа необходимо знать конкретное расположение клеток.

В задаче требуется найти конкретное значение. Предположим, что Ефим закрасил клетки таким образом, что они образуют компактную фигуру, в которой общие стороны минимизированы. Например, фигура похожа на шестиугольник, окруженный 4 клетками. В таком случае можно предположить, что сумма периметров будет 18.

Поскольку в условии не указано, как именно расположены клетки, можно предположить, что они расположены таким образом, что образуют фигуру с минимальным количеством общих сторон. В этом случае сумма периметров будет ближе к 12.

Ответ: Сумма периметров может оказаться равной 18.