На плоскости отметили две точки $$A$$ и $$B$$. Известно, что $$AB = 7$$. Найдите множество всех точек $$M$$ таких, что $$AM^2 + BM^2 = 65$$. Чему равен радиус окружности, на которой лежат все такие точки $$M$$?

Введем систему координат так, как указано в условии: начало координат — середина отрезка $$AB$$, и отрезок $$AB$$ лежит на оси абсцисс. Тогда координаты точек $$A$$ и $$B$$ будут $$A(-\frac{7}{2}; 0)$$ и $$B(\frac{7}{2}; 0)$$.

Пусть точка $$M$$ имеет координаты $$(x; y)$$. Тогда $$AM^2 = (x + \frac{7}{2})^2 + y^2$$ и $$BM^2 = (x - \frac{7}{2})^2 + y^2$$.

По условию, $$AM^2 + BM^2 = 65$$, следовательно:

$$(x + \frac{7}{2})^2 + y^2 + (x - \frac{7}{2})^2 + y^2 = 65$$

$$x^2 + 7x + \frac{49}{4} + y^2 + x^2 - 7x + \frac{49}{4} + y^2 = 65$$

$$2x^2 + 2y^2 + \frac{49}{2} = 65$$

$$2x^2 + 2y^2 = 65 - \frac{49}{2} = \frac{130 - 49}{2} = \frac{81}{2}$$

$$x^2 + y^2 = \frac{81}{4}$$

Это уравнение окружности с центром в начале координат $$(0; 0)$$ и радиусом $$R = \sqrt{\frac{81}{4}} = \frac{9}{2} = 4.5$$

Ответ: $$R = 4.5$$