На плоскости построили два правильных многоугольника F1 и F2. Оказалось, что количество вершин у F₁ на 4 меньше, чем у F2. При этом внутренний угол F₁ в два раза больше внешнего угла F2. Найдите количество вершин у многоугольника F

Пусть количество вершин у многоугольника F₁ равно n, тогда количество вершин у многоугольника F₂ равно n + 4.

Внутренний угол правильного многоугольника F₁ равен $$\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$$, а внешний угол правильного многоугольника F₂ равен $$\frac{360^\circ}{n+4}$$.

По условию задачи, внутренний угол многоугольника F₁ в два раза больше внешнего угла многоугольника F₂:

$$\frac{(n-2) \cdot 180}{n} = 2 \cdot \frac{360}{n+4}$$

$$\frac{(n-2) \cdot 180}{n} = \frac{720}{n+4}$$

Разделим обе части уравнения на 180:

$$\frac{n-2}{n} = \frac{4}{n+4}$$

$$(n-2)(n+4) = 4n$$

$$n^2 + 4n - 2n - 8 = 4n$$

$$n^2 + 2n - 8 = 4n$$

$$n^2 - 2n - 8 = 0$$

Решим квадратное уравнение:$$n^2 - 2n - 8 = 0$$

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$

$$n_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

$$n_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Так как количество вершин не может быть отрицательным, то n = 4.

Ответ: 4