На прямой AB взята точка P. Найдите расстояние между серединами отрезков AP и PB, если AB = 40 см, BP = 30 см.

Для решения задачи рассмотрим два возможных случая расположения точки P на прямой AB:

1. Точка P лежит между точками A и B.
2. Точка P лежит вне отрезка AB.

Случай 1: Точка P лежит между точками A и B.

Если точка P лежит между A и B, то AP + PB = AB. Так как AB = 40 см и BP = 30 см, то:

$$AP = AB - BP = 40 - 30 = 10 \text{ см}$$

Пусть M - середина отрезка AP, а N - середина отрезка PB. Тогда:

$$AM = \frac{AP}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см}$$ $$NB = \frac{PB}{2} = \frac{30}{2} = 15 \text{ см}$$

Расстояние между серединами M и N равно:

$$MN = MP + PN = \frac{AP}{2} + \frac{PB}{2} = \frac{AP + PB}{2} = \frac{AB}{2} = \frac{40}{2} = 20 \text{ см}$$

Случай 2: Точка P лежит вне отрезка AB.

В этом случае возможны два подслучая: точка P лежит левее A или правее B.

• Если P лежит левее A, то BP = BA + AP, что невозможно, так как BP < AB.
• Если P лежит правее B, то AP = AB + BP = 40 + 30 = 70 см.

Пусть M - середина отрезка AP, а N - середина отрезка PB. Тогда:

$$AM = \frac{AP}{2} = \frac{70}{2} = 35 \text{ см}$$ $$BN = \frac{BP}{2} = \frac{30}{2} = 15 \text{ см}$$

Тогда расстояние между серединами M и N (MN) будет равно:

$$MN = AM - AN = AM - (AB + BN) = 35 - (40 - 15) = 35 - 25 = 10 \text{ см}$$

Ответ:

Расстояние между серединами отрезков AP и PB может быть 20 см (если P между A и B) или 10 см (если P за B).

Ответ: 10 см или 20 см