На прямой АВ отмечена точка S. Луч SM биссектриса угла ASN. Известно, что ∠MSB=108°. Найдите величину угла NSB.

Ответ: 36°

Разбираемся:

• Шаг 1: Найдем угол \(ASB\), зная, что \(∠MSB = 108°\) и \(∠ASB\) - смежный с ним:
  \[∠ASB = 180° - ∠MSB = 180° - 108° = 72°\]
• Шаг 2: Так как \(SM\) - биссектриса угла \(ASN\), то \(∠ASN = 2 ⋅ ∠ASM\). Обозначим \(∠ASM = x\), тогда \(∠ASN = 2x\).
• Шаг 3: Выразим угол \(ASB\) через \(x\):
  \(∠ASN + ∠NSB = ∠ASB\), значит, \(2x + ∠NSB = 72°\).
• Шаг 4: Найдем угол \(ASM\), зная, что \(∠MSB\) и \(∠ASM\) - смежные, а значит в сумме составляют 180°:
  \[∠ASM = 180° - ∠MSB = 180° - 108° = 72°\]
• Шаг 5: Так как \(∠ASM = x\), то \(x = 72°\). Тогда \(∠ASN = 2x = 2 ⋅ 72° = 144°\).
• Шаг 6: Теперь найдем угол \(NSB\):
  \(∠NSB = ∠ASB - ∠ASN = 72° - x\)
  Т.к. \(∠ASN + ∠NSB =∠ASB\), то \(∠NSB = 72°-∠ASN\)
  Неправильно! \[∠ASN + ∠NSB = 72°\], а \(∠ASN=x\) и \(∠ASM = ∠NSM=x\), то \(∠ASB = ∠ASM + ∠MSN+∠NSB\), значит \(∠ASB=2x+∠NSB=∠ASM+∠ASM+∠NSB=72°\)
  \(∠NSB=72°-2x\), Т.к. \(∠MSB =∠MSN+∠NSB =108°\) и \(∠ASM = ∠MSN=x\), то \(108°=x+∠NSB\), то \(∠NSB=108°-x\)
• Шаг 7: Решим уравнение:
  \(∠ASN + ∠NSB = 72°\), где \(∠ASN = ∠ASM + ∠MSN=2x\)
  \(2x+∠NSB=72°\), \(∠NSB=72°-2x\)
  \(∠NSB =108°-x = 108°-72° = 36°\)

Ответ: 36°