Решение задачи 4

Дано: Три прямые пересекаются в одной точке. ∠5 = 112°, ∠1 - ∠6 = 10°.

Найти: ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠6.

1. ∠5 и ∠3 - вертикальные углы, следовательно, ∠3 = ∠5 = 112°.
2. ∠5 + ∠6 = 180° (как смежные), следовательно, ∠6 = 180° - ∠5 = 180° - 112° = 68°.
3. ∠1 - ∠6 = 10° (по условию), следовательно, ∠1 = ∠6 + 10° = 68° + 10° = 78°.
4. ∠1 и ∠4 - вертикальные углы, следовательно, ∠4 = ∠1 = 78°.
5. ∠1 + ∠2 = 180° (как смежные), следовательно, ∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 78° = 102°.

Ответ: ∠1 = 78°, ∠2 = 102°, ∠3 = 112°, ∠4 = 78°, ∠6 = 68°.

Решение задачи 5

Дано: Три прямые пересекаются в одной точке, ∠1 - ∠3 = ∠2.

Доказать: a⊥b.

Доказательство:

1. ∠1 и ∠3 - вертикальные углы, следовательно, ∠1 = ∠3.
2. По условию, ∠1 - ∠3 = ∠2. Так как ∠1 = ∠3, то ∠1 - ∠1 = ∠2, следовательно, ∠2 = 0°.
3. Однако, ∠2 не может быть равен 0°, так как это угол между двумя пересекающимися прямыми.
4. Предположим, что в условии ошибка и ∠1 + ∠3 = ∠2.
5. ∠1 + ∠3 = ∠2, но ∠1 = ∠3, следовательно, 2∠1 = ∠2.
6. ∠1 + ∠2 = 180° (как смежные). Подставим ∠2 = 2∠1.
7. ∠1 + 2∠1 = 180°, следовательно, 3∠1 = 180°, ∠1 = 60°.
8. ∠2 = 2∠1 = 2 × 60° = 120°.
9. Это не доказывает, что a⊥b.
10. Если ∠1 = ∠2 = ∠3, то прямая, проходящая между ∠1 и ∠3, перпендикулярна прямой b.
11. В этом случае ∠1 + ∠3 = 90°, а ∠2 = 90°.

Предположим, что ∠1 + ∠3 = ∠2, и прямая a перпендикулярна прямой b.

Тогда ∠1 = ∠3 = x, и ∠2 = 90°. x + x + 90 = 180 => 2x = 90 => x = 45

Если ∠1 = 45°, ∠3 = 45°, и ∠2 = 90°, то ∠1 + ∠3 = ∠2 => 45 + 45 = 90

Ответ: Задача некорректна, поскольку из условия ∠1 - ∠3 = ∠2 не следует, что a⊥b. Вероятно, в условии ошибка.