На рис. три прямые пересекаются в точке O, \(\angle AOB = 70^{\circ}, \angle B_1OC_1 = 30^{\circ}\). Найдите \(\angle AOC_1, \angle BOA_1\).

Решение:

Прямые \( AA_1 \), \( BB_1 \), \( CC_1 \) пересекаются в точке O.

Углы \(\angle AOB \) и \(\angle C_1OA_1 \) — вертикальные, следовательно, \(\angle C_1OA_1 = \angle AOB = 70^{\circ}\).

Углы \(\angle BOC \) и \(\angle AOB_1 \) — вертикальные.

Углы \(\angle AOC \) и \(\angle B_1OA_1 \) — вертикальные.

Углы \(\angle AOC_1 \) и \(\angle B_1OC \) — вертикальные.

Углы \(\angle BOA_1 \) и \(\angle C_1OC \) — вертикальные.

Углы \(\angle AOB = 70^{\circ}\).

Углы \(\angle B_1OC_1 = 30^{\circ}\).

Углы \(\angle B_1OC \) и \(\angle B_1OC_1 + \angle C_1OC \).

Углы \(\angle AOB_1 \) и \(\angle BOA_1 \) — смежные. \(\angle AOB_1 + \angle BOA_1 = 180^{\circ}\).

Угол \(\angle AOB \) и \(\angle BOC \) — смежные. \(\angle AOB + \angle BOC = 180^{\circ}\). \( 70^{\circ} + \angle BOC = 180^{\circ} \) \(\implies \angle BOC = 110^{\circ}\).

Углы \(\angle BOC \) и \(\angle BOA_1 \) — вертикальные. \(\implies \angle BOA_1 = 110^{\circ}\).

Углы \(\angle AOB \) и \(\angle AOC_1 \) — смежные. \(\angle AOB + \angle AOC_1 = 180^{\circ}\). \( 70^{\circ} + \angle AOC_1 = 180^{\circ} \) \(\implies \angle AOC_1 = 110^{\circ}\).

Ответ: \(\angle AOC_1 = 110^{\circ}, \angle BOA_1 = 110^{\circ}\).