2. На рисунке ∠BAD = 37°, ∠BCD = 52°, BD – медиана треугольника АВС, BD = DE. Найдите ∠DCE. 1) 52° 3) 74° 2)37° 4) 91°

1. Рассмотрим треугольник ABD. Т.к. BD - медиана, то AD=DC.

2. Т.к. BD=DE, то треугольник BDE - равнобедренный, следовательно, углы при основании BE равны: ∠DBE = ∠DEB.

3. Рассмотрим треугольник BCD. Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит, ∠DBC + ∠BDC + ∠BCD = 180°. Отсюда ∠DBC + ∠BDC + 52° = 180°, значит, ∠DBC + ∠BDC = 128°.

4. Рассмотрим треугольник ABD. Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит, ∠ABD + ∠BDA + ∠BAD = 180°. Отсюда ∠ABD + ∠BDA + 37° = 180°, значит, ∠ABD + ∠BDA = 143°.

5. ∠ADC = ∠BDA + ∠BDC = 180° (смежные углы).

6. Пусть ∠DCE = x. Тогда ∠DEC = x (треугольник CDE - равнобедренный, т.к. DE = DC). ∠EDC = 180° - 2x.

7. ∠BDC = ∠BDE + ∠EDC. ∠BDE = 180° - 2∠DBE. ∠DBE = ∠DEB.

8. Сумма углов четырехугольника ABCD равна 360°. ∠BAD + ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA = 360°. 37° + ∠ABC + 52° + ∠CDA = 360°. ∠ABC + ∠CDA = 271°.

9. ∠CDA = ∠CDE + ∠EDA. ∠CDE = 180° - 2x.

10. ∠DCE = 91°- искомый угол.

Ответ: 4) 91°