1. На рисунке ∠BAE = 112°, ∠DBF = 68°, ВС = 9 см. Найдите сторону АС треугольни- ка АВС. 2. В треугольнике ММР точка К лежит на стороне ММ, причём угол МКР острый. Докажите, что КР < МР. 3. Периметр равнобедренного тупоугольно- го треугольника равен 77 см, а одна из его сто- рон больше другой на 17 см. Найдите стороны этого треугольника.

Ответ:

Задача 1

К сожалению, для решения задачи №1 недостаточно данных. Нужны дополнительные условия или соотношения углов и сторон треугольника ABC.

Задача 2

В треугольнике MNP точка K лежит на стороне MN, причём угол NKP острый. Нужно доказать, что KP < MP.

Доказательство:

• Так как ∠NKP острый, то смежный с ним угол ∠PKM - тупой (или прямой), так как ∠NKP + ∠PKM = 180°.
• Рассмотрим треугольник NKP. В нём против острого угла лежит меньшая сторона, то есть NP > KP.
• Рассмотрим треугольник MNP. По теореме о неравенстве треугольника, MN + NP > MP.
• Рассмотрим треугольник MKP. По теореме о неравенстве треугольника, MK + KP > MP.
• Сравним KP и MP: Так как NP > KP, то MN + KP > MP. Учитывая, что MN = MK + KN, получаем MK + KN + NP > MP.
• Так как KP < NP, то MP > KP.

Задача 3

Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 77 см, а одна из его сторон больше другой на 17 см. Найдите стороны этого треугольника.

Решение:

В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Рассмотрим два случая:

1. Боковая сторона больше основания на 17 см.

   Пусть основание равно x, тогда боковая сторона x + 17.

   Периметр: x + 2(x + 17) = 77

   Решаем уравнение: x + 2x + 34 = 77

   3x = 43

   x = 43/3

   Основание: 43/3 см, боковые стороны: 43/3 + 17 = (43+51)/3 = 94/3 см.

2. Основание больше боковой стороны на 17 см.

   Пусть боковая сторона равна x, тогда основание x + 17.

   Периметр: (x + 17) + 2x = 77

   Решаем уравнение: 3x + 17 = 77

   3x = 60

   x = 20

   Боковые стороны: 20 см, основание: 20 + 17 = 37 см.

Проверим, может ли треугольник со сторонами 20, 20 и 37 см быть тупоугольным:

По теореме косинусов: 37² = 20² + 20² - 2 * 20 * 20 * cos(α)

1369 = 400 + 400 - 800 * cos(α)

1369 = 800 - 800 * cos(α)

569 = -800 * cos(α)

cos(α) = -569 / 800

Так как косинус отрицательный, угол α - тупой, и такой треугольник существует.

Ответ:

• 43/3 см, 94/3 см, 94/3 см
• 20 см, 20 см, 37 см

Ответ: 43/3 см, 94/3 см, 94/3 см или 20 см, 20 см, 37 см