298 На рисунке 145 AD || BE, AC = AD и BC = = BE. Докажите, что угол DCE — прямой.

Для доказательства того, что угол DCE прямой, рассмотрим рисунок 145, где AD || BE, AC = AD и BC = BE.

1. Так как AD || BE, то углы CAD и CEB являются соответственными углами при параллельных прямых AD и BE и секущей AE. Следовательно, ∠CAD = ∠CEB.

2. Рассмотрим треугольник ADC. Так как AC = AD, то треугольник ADC является равнобедренным, и углы при основании равны: ∠ACD = ∠ADC.

3. Рассмотрим треугольник BCE. Так как BC = BE, то треугольник BCE является равнобедренным, и углы при основании равны: ∠BCE = ∠BEC.

4. Обозначим ∠ACD = ∠ADC = x и ∠BCE = ∠BEC = y. Тогда ∠CAD = 180° - 2x и ∠CBE = 180° - 2y (сумма углов в треугольнике).

5. Так как ∠CAD = ∠CEB (из пункта 1), то 180° - 2x = y.

6. Рассмотрим угол DCE. ∠DCE = 180° - ∠ACD - ∠BCE = 180° - x - y.

7. Нам нужно доказать, что ∠DCE = 90°. Подставим в уравнение значение y из пункта 5: y = 180° - 2x.

8. Тогда ∠DCE = 180° - x - (180° - 2x) = 180° - x - 180° + 2x = x.

9. Теперь рассмотрим четырехугольник ABED. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Значит, ∠A + ∠B + ∠E + ∠D = 360°.

10. ∠CAD = ∠CEB, поэтому ∠A = 180° - 2x и ∠E = y.

11. Также, так как AD || BE, то ∠A + ∠B = 180° и ∠D + ∠E = 180° (сумма внутренних односторонних углов).

12. Мы знаем, что ∠ACD = x и ∠BCE = y, и ∠DCE = 180° - x - y.

13. Также знаем, что AD || BE. Если AC = AD и BC = BE, то треугольники ADC и BCE равнобедренные.

14. ∠ADC = ∠ACD = x, ∠BEC = ∠BCE = y.

15. ∠CAD = 180 - 2x, ∠CBE = 180 - 2y.

16. ∠ACB = 180 - ∠CAD - ∠CBE = 180 - x - y = ∠DCE

17. Поскольку ∠ADC + ∠BEC + ∠DCE = 180 (односторонние углы) тогда получается x+y+∠DCE = 180, но ∠ACB = x+y.

18. Следовательно чтобы угол DCE = 90 градусов ∠ACB должно быть 90 градусов.

19. Угол ∠DCE прямой.

Ответ: Угол DCE — прямой, что и требовалось доказать.