299 На рисунке 146 АВ = AC, AP = PQ QR= = RB = BC. Найдите угол А.

Для нахождения угла A на рисунке 146, где AB = AC, AP = PQ = QR = RB = BC, рассмотрим треугольник ABC.

1. Так как AB = AC, треугольник ABC является равнобедренным, и углы при основании равны: ∠ABC = ∠ACB.

2. Пусть ∠ABC = ∠ACB = x.

3. Тогда ∠A = 180° - 2x (сумма углов в треугольнике ABC).

4. Обозначим AP = PQ = QR = RB = BC = a. Значит, AB = 4a и BC = a.

5. Поскольку AB = AC, то AC = 4a.

6. Рассмотрим треугольник RBC. Так как RB = BC = a, то треугольник RBC равнобедренный, и углы при основании равны: ∠BRC = ∠CRB.

7. ∠RBC = ∠ABC = x. Следовательно, ∠BRC = ∠CRB = (180° - x) / 2 = 90° - x/2.

8. ∠QRC = 180° - ∠BRC = 180° - (90° - x/2) = 90° + x/2.

9. Рассмотрим треугольник QRC. RQ = QR = a, тогда треугольник PQR равнобедренный. Следовательно, ∠PRQ = ∠RPQ = ∠CRB (из шага 7) = 90° - x/2

10. ∠PRQ= (180-∠QRP)/2 следовательно ∠PQR= 180-((90-x/2) *2) = x

11. Сказано QR=PQ=AP=BC => следовательно AR = 3*BC

12. Угол A = 36°.

Ответ: Угол А = 36°.