306 На рисунке 151 AD || BE, AC = AD и BC = =ВЕ. Докажите, что угол DCE — прямой.

Решение:

1. Обозначим \( \angle DAC = \alpha \) и \( \angle EBC = \beta \).
2. Так как \( AC = AD \), то треугольник \( \triangle ADC \) равнобедренный, и \( \angle ACD = \angle ADC = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} \).
3. Так как \( BC = BE \), то треугольник \( \triangle BCE \) равнобедренный, и \( \angle BCE = \angle BEC = \frac{180^\circ - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\beta}{2} \).
4. Поскольку \( AD \parallel BE \), то \( \angle DAB + \angle ABE = 180^\circ \) как внутренние односторонние углы при параллельных прямых и секущей AB.
5. \( \angle CAB = 180^\circ - \angle DAC - \angle EBC = 180^\circ - (\alpha + \beta) \).
6. В треугольнике ABC сумма углов равна \( 180^\circ \), следовательно, \( \angle ACB = 180^\circ - (\angle CAB + \angle ABC) \).
7. \( \angle ABC = 180^\circ - (\alpha + \beta) \), тогда \( \angle ACB = 180^\circ - (180^\circ - (\alpha + \beta)) = \alpha + \beta \).
8. Угол \( \angle DCE = 180^\circ - \angle ACD - \angle ACB - \angle BCE = 180^\circ - (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) - (90^\circ - \frac{\beta}{2}) = 180^\circ - 90^\circ + \frac{\alpha}{2} - 90^\circ + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2} \).
9. Так как \( \angle DCE = \angle ACB \), то \( \angle ACB = 90^\circ \).

Ответ: доказано, что угол DCE прямой.