На рисунке 145 AD || ВЕ, АС = AD и BC = = ВЕ. Докажите, что угол DCE – прямой.

Разбираемся:

Решение:

1. Поскольку AD || BE, то углы DAC и BEC – соответственные и равны.
2. Так как AC = AD, то треугольник ADC равнобедренный, и углы ADC и ACD равны. Обозначим эти углы как α.
3. Так как BC = BE, то треугольник BCE равнобедренный, и углы BCE и BEC равны. Обозначим эти углы как β.
4. Угол DAC равен углу ADC (так как AC = AD). Значит, угол DAC = α.
5. Угол BEC равен углу BCE (так как BC = BE). Значит, угол BEC = β.
6. Сумма углов в треугольнике ADC равна 180°, то есть \(\angle DAC + \angle ADC + \angle ACD = 180°\). Подставляем известные значения: \(\alpha + \alpha + \alpha = 180°\), откуда \(2\alpha + \angle CAD = 180°\).
7. Сумма углов в треугольнике BCE равна 180°, то есть \(\angle BEC + \angle BCE + \angle CBE = 180°\). Подставляем известные значения: \(\beta + \beta + \angle CBE = 180°\), откуда \(2\beta + \angle CBE = 180°\).
8. Угол ACB – развернутый, значит, \(\angle ACB = 180°\). Угол ACB состоит из углов ACD, DCE и ECB. То есть \(\angle ACD + \angle DCE + \angle ECB = 180°\). Подставляем известные значения: \(\alpha + \angle DCE + \beta = 180°\).
9. Так как AD || BE, то \(\angle DAC = \angle BEC\), значит, \(\alpha = \beta\). Из равенства \(\alpha = \beta\) следует, что углы DAC и BEC равны.
10. Рассмотрим четырехугольник ACBE. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Значит, \(\angle DAC + \angle BEC + \angle ACE + \angle CBE = 360°\).
11. Подставляем значения: \(\alpha + \beta + \angle ACE + \angle CBE = 360°\).
12. Так как \(\alpha = \beta\), то \(2\alpha + \angle ACE + \angle CBE = 360°\).
13. Рассмотрим треугольник DCE. Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит, \(\angle DCE + \angle DEC + \angle EDC = 180°\). Подставляем значения: \(\angle DCE + \beta + \alpha = 180°\).
14. Так как \(\alpha = \beta\), то \(\angle DCE + 2\alpha = 180°\).
15. Так как AD || BE, то углы CAD и CBE являются внутренними односторонними углами и в сумме равны 180°. То есть \(\angle CAD + \angle CBE = 180°\).
16. В треугольнике ADC: \(\angle CAD = 180° - 2\alpha\). В треугольнике BCE: \(\angle CBE = 180° - 2\beta\). Следовательно, \(180° - 2\alpha + 180° - 2\beta = 180°\).
17. Тогда \(360° - 2\alpha - 2\beta = 180°\). Так как \(\alpha = \beta\), то \(360° - 4\alpha = 180°\), откуда \(4\alpha = 180°\), \(\alpha = 45°\).
18. Теперь найдем угол DCE: \(\angle DCE = 180° - 2\alpha = 180° - 2 * 45° = 180° - 90° = 90°\).

Значит, угол DCE – прямой.