297. На стороне AD треугольника ADC отмечена точка B так, что BC = BD. Докажите, что прямая DC параллельна биссектрисе угла ABC.

Пусть \(\angle BCD = \alpha\). Так как BC = BD, то \(\triangle BCD\) – равнобедренный, и \(\angle BDC = \angle BCD = \alpha\). Следовательно, \(\angle CBD = 180^\circ - 2\alpha\). Обозначим биссектрису угла ABC за BL. Тогда \(\angle CBL = \frac{1}{2} \angle ABC\). Для того чтобы прямые DC и BL были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы внутренние односторонние углы при этих прямых и секущей BC были равны в сумме \(180^\circ\). То есть, должно выполняться: \(\angle BCD + \angle CBL = 180^\circ\) \(\alpha + \frac{1}{2} \angle ABC = 180^\circ\) Выразим \(\angle ABC\) через \(\angle CBD\): \(\angle ABC = 180^\circ - \angle CBD = 180^\circ - (180^\circ - 2\alpha) = 2\alpha\) Подставим это выражение в уравнение выше: \(\alpha + \frac{1}{2} (2\alpha) = 180^\circ\) \(\alpha + \alpha = 180^\circ\) \(2\alpha = 180^\circ\) \(\alpha = 90^\circ\) Таким образом, если \(\angle BCD = 90^\circ\), то DC параллельна биссектрисе угла ABC. Однако, в условии нет информации, что \(\angle BCD = 90^\circ\), поэтому доказательство не завершено. *Замечание:* Вероятно, в условии задачи есть опечатка или пропущена важная информация. Без дополнительных сведений невозможно строго доказать, что DC параллельна биссектрисе угла ABC.