Решение задачи 122

Дано: AB = BC, CD = DE (см. рисунок).

Доказать: ∠BAC = ∠CED.

Доказательство:

1) Рассмотрим ΔABC. Т.к. AB = BC, то ΔABC – равнобедренный с основанием AC.

Следовательно, ∠BAC = ∠BCA.

2) Рассмотрим ΔCDE. Т.к. CD = DE, то ΔCDE – равнобедренный с основанием CE.

Следовательно, ∠DCE = ∠DEC.

3) ∠BCA и ∠DCE – смежные углы, следовательно, ∠BCA + ∠DCE = 180°.

4) Рассмотрим ΔABC: ∠ABC + ∠BCA + ∠BAC = 180°.

Т.к. ∠BAC = ∠BCA, то ∠ABC + 2∠BAC = 180°.

Выразим ∠BAC: 2∠BAC = 180° - ∠ABC, ∠BAC = (180° - ∠ABC) / 2 = 90° - ∠ABC / 2.

5) Рассмотрим ΔCDE: ∠CDE + ∠DCE + ∠DEC = 180°.

Т.к. ∠DCE = ∠DEC, то ∠CDE + 2∠DCE = 180°.

Выразим ∠DCE: 2∠DCE = 180° - ∠CDE, ∠DCE = (180° - ∠CDE) / 2 = 90° - ∠CDE / 2.

6) Т.к. ∠BCA + ∠DCE = 180° и ∠BCA = ∠BAC, ∠DCE = ∠DEC, то ∠BAC + ∠DEC = 180°.

7) Рассмотрим четырехугольник ABCE. Сумма углов четырехугольника равна 360°.

∠ABC + ∠BAC + ∠DEC + ∠BCE = 360°.

∠BCE = ∠BCA + ∠DCE = 180°.

Тогда ∠ABC + ∠BAC + ∠DEC + 180° = 360°, ∠ABC + ∠BAC + ∠DEC = 180°.

8) Т.к. ∠BAC = 90° - ∠ABC / 2, ∠DCE = 90° - ∠CDE / 2 и ∠BCA + ∠DCE = 180°, то 90° - ∠ABC / 2 + 90° - ∠CDE / 2 = 180°.

180° - ∠ABC / 2 - ∠CDE / 2 = 180°, ∠ABC / 2 + ∠CDE / 2 = 0.

Следовательно, ∠ABC = ∠CDE.

9) Т.к. ∠ABC = ∠CDE, то ∠BAC = ∠CED.

Что и требовалось доказать.