187. На рисунке 182 хорда AC пересекает диаметр KP в точке M, ∠CME = 60°, AM = 6 см, CM = 12 см. Найдите BE.

Пусть OK = R (радиус окружности). Так как $$\angle CME = 60^\circ$$, то $$\angle AME = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$. По теореме о пересекающихся хордах: $$AM \cdot MC = KM \cdot MP$$. $$6 \cdot 12 = KM \cdot MP$$, то есть $$72 = KM \cdot MP$$. Пусть $$OM = x$$. Тогда $$KM = R - x$$, $$MP = R + x$$. Значит, $$(R - x)(R + x) = 72$$, то есть $$R^2 - x^2 = 72$$. Рассмотрим треугольник $$\triangle AMO$$. По теореме косинусов: $$AO^2 = AM^2 + OM^2 - 2 \cdot AM \cdot OM \cdot cos(\angle AME)$$ $$R^2 = 6^2 + x^2 - 2 \cdot 6 \cdot x \cdot cos(120^\circ)$$ $$R^2 = 36 + x^2 - 12x \cdot (-1/2)$$ $$R^2 = 36 + x^2 + 6x$$ Подставим $$R^2 = 72 + x^2$$: $$72 + x^2 = 36 + x^2 + 6x$$ $$72 - 36 = 6x$$ $$36 = 6x$$ $$x = 6$$ Тогда $$R^2 = 72 + 6^2 = 72 + 36 = 108$$, значит $$R = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$$. Так как $$OM = 6$$, то $$ME = OE - OM = 6\sqrt{3} - 6 = 6(\sqrt{3} - 1)$$. $$\triangle OME$$ - прямоугольный, где OE радиус. $$\angle OME=30$$. Рассмотрим $$\triangle BME$$ - прямоугольный , так как $$BM \perp KP$$. $$\angle BME = 90 -60 =30$$. Тогда $$BE = ME/tg30= 6(\sqrt{3} - 1) / \frac{\sqrt{3}}{3} = 6(\sqrt{3} - 1) * \frac{3}{\sqrt{3}} = 6(\sqrt{3} - 1)* \sqrt{3} = 6(3-\sqrt{3})$$. Ответ: $$BE = 6(3-\sqrt{3})$$ см.