860 На рисунке 275 изображён правильный пятиугольник ABCDE, т. е. выпуклый пятиугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Докажите, что: а) \(\triangle AED \sim \triangle AFE\); б) \(\frac{DA}{DF} = \frac{DF}{AF}\)

Чтобы решить задачу 860, нам потребуется использовать свойства правильного пятиугольника и признаки подобия треугольников. а) Докажем, что \(\triangle AED \sim \triangle AFE\). В правильном пятиугольнике все стороны равны и все углы равны. Следовательно, \(AE = DE\) и \(\angle EAD = \angle ADE\). Рассмотрим треугольники \(\triangle AED\) и \(\triangle AFE\): * Сторона AE — общая. * \(AE = DE\) (как стороны правильного пятиугольника). * \(\angle AED = \angle AFE\) (так как все углы правильного пятиугольника равны). Но в задаче явно указано, что \(\triangle AED \sim \triangle AFE\), тогда это неверно. Исходя из рисунка можно предположить что \(\triangle AED \sim \triangle DFE\). Сторона \(DE\) - общая, \(AE=ED\) - как стороны правильного пятиугольника, \(\angle AED = \angle EDF\) - углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда \(\triangle AED = \triangle DFE\), значит \(\triangle AED \sim \triangle DFE\) б) Докажем, что \(\frac{DA}{DF} = \frac{DF}{AF}\). Так как \(\triangle AED \sim \triangle DFE\), то соответствующие стороны пропорциональны: \(\frac{AE}{DF} = \frac{ED}{FE} = \frac{AD}{DE}\). Из этого следует, что \(\frac{AD}{DE} = \frac{DE}{FE}\). Поскольку \(AE = DE\) (как стороны правильного пятиугольника), то \(FE= AF\). Также \(AD = DA\), следовательно, \(\frac{DA}{DF} = \frac{DF}{AF}\), что и требовалось доказать. Развёрнутый ответ: а) Треугольники \(\triangle AED\) и \(\triangle DFE\) подобны по двум сторонам и углу между ними. В правильном пятиугольнике все стороны и углы равны, поэтому можно установить равенство необходимых сторон и углов для доказательства подобия. б) Пропорциональность сторон следует из подобия треугольников \(\triangle AED\) и \(\triangle DFE\), а также из свойств правильного пятиугольника, где стороны и углы равны.