4. На рисунке 9 лучи ВО и СО биссектрисы углов В и С треугольника АВС. На сторонах АВ и АС отмечены точки М и № так, что ВМ = MO, CN = NO. Докажите, что точки М, О и № лежат на одной прямой.

Для доказательства того, что точки M, O и N лежат на одной прямой, можно воспользоваться теоремой Менелая для треугольника ABC и прямой MON.

Дано: BM = MO и CN = NO. BO и CO – биссектрисы углов B и C соответственно.

1. Так как BM = MO, треугольник BMO равнобедренный. Тогда углы при основании равны: ∠MBO = ∠MOB.
2. BO - биссектриса угла B, следовательно, ∠MBO = ∠OBC.
3. Из пунктов 1 и 2 следует, что ∠MOB = ∠OBC. Эти углы являются накрест лежащими при прямых MO и BC и секущей BO. Следовательно, MO || BC.
4. Аналогично доказывается, что NO || BC. Так как CN = NO, треугольник CNO равнобедренный. Тогда углы при основании равны: ∠NCO = ∠NOC.
5. CO - биссектриса угла C, следовательно, ∠NCO = ∠OCB.
6. Из пунктов 4 и 5 следует, что ∠NOC = ∠OCB. Эти углы являются накрест лежащими при прямых NO и BC и секущей CO. Следовательно, NO || BC.
7. Так как MO || BC и NO || BC, то прямые MO и NO параллельны одной и той же прямой, следовательно, MO и NO лежат на одной прямой.
8. Таким образом, точки M, O и N лежат на одной прямой.

Ответ: Точки M, O и N лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.