На рисунке 178 MK = KE, ∠NMK = ∠FMK, ∠MNK = ∠ENK. Докажите, что прямые АВ и CD параллельны.

Решение задания 96

Смотри, что у нас есть: MK = KE, ∠NMK = ∠FMK, ∠MNK = ∠ENK. Наша задача — доказать, что прямые AB и CD параллельны.

MK = KE говорит нам о том, что MK = KE, следовательно, ∠MKE = ∠KME.

Так как ∠NMK = ∠FMK и ∠MNK = ∠ENK, то MK и NK - биссектрисы углов ∠FMN и ∠MNE соответственно.

Биссектрисы смежных углов перпендикулярны тогда и только тогда, когда эти прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть ∠FMN = 2x, ∠MNE = 2y. Тогда ∠KMN = x, ∠ENM = y. Поскольку MK ⊥ NK, то ∠KMN + ∠ENM = 90°, значит x + y = 90°.

Сумма углов ∠FMN + ∠MNE = 2x + 2y = 2(x + y) = 2 \(90°\) = 180°.

Углы FMN и MNE — внутренние односторонние углы при прямых AB и CD и секущей MN. Раз их сумма равна 180°, то прямые AB и CD параллельны.

Проверка за 10 секунд: убедись, что биссектрисы перпендикулярны, а углы MNK и FMN - внутренние односторонние.

Доп. профит:Редфлаг. Будь внимателен с биссектрисами и перпендикулярностью — это часто помогает решать задачи быстрее!