1. На рисунке 271 точка O – центр окружности, \(\angle AOC = 50^\circ\). Найдите угол \(\angle BCO\). 2. К окружности с центром O провели касательную AB (B – точка касания). Найдите радиус окружности, если AB = 8 см и \(\angle AOB = 45^\circ\). 3. Через концы диаметра AB окружности с центром O проведены параллельные хорды BC и AD (рис. 272). Докажите, что AD = BC. 4. Постройте равнобедренный треугольник по медиане, проведённой к основанию, и углу между этой медианой и боковой стороной треугольника. 5. На данной окружности постройте точку, находящуюся на заданном расстоянии от данной прямой. Сколько решений может иметь задача?

Решение: 1. Дано: Окружность с центром O, \(\angle AOC = 50^\circ\). Найти \(\angle BCO\). Так как OB и OC - радиусы окружности, то OB = OC, значит, треугольник BOC - равнобедренный. Следовательно, \(\angle OBC = \angle OCB\). \(\angle BOC\) - центральный угол, опирающийся на дугу BC. \(\angle AOC\) - центральный угол, \(\angle AOC = 50^\circ\). Тогда: \(\angle BOC = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\). В треугольнике BOC: \(\angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180^\circ\) \(2 \cdot \angle OCB = 180^\circ - \angle BOC\) \(2 \cdot \angle OCB = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ\) \(\angle OCB = 25^\circ\) Ответ: \(\angle BCO = 25^\circ\) 2. Дано: Окружность с центром О, АВ - касательная, \(\angle AOB = 45^\circ\), АВ = 8 см. Найти радиус окружности. Так как AB - касательная, то OB перпендикулярна AB (OB - радиус, проведенный в точку касания). Значит, \(\angle OBA = 90^\circ\). В прямоугольном треугольнике AOB: \(tg(\angle AOB) = \frac{AB}{OB}\) \(OB = \frac{AB}{tg(\angle AOB)}\) \(OB = \frac{8}{tg(45^\circ)}\) \(OB = \frac{8}{1} = 8\) см. Ответ: Радиус окружности равен 8 см. 3. Дано: Окружность с центром О, АВ - диаметр, ВС || AD. Доказать, что AD = BC. Доказательство: Так как АВ - диаметр, то углы \(\angle ACB\) и \(\angle ADB\) - прямые, так как опираются на диаметр. Следовательно, \(\angle ACB = \angle ADB = 90^\circ\). Рассмотрим прямоугольные треугольники ACB и BDA. AB - общая сторона. Так как BC || AD, то \(\angle CBA = \angle DAB\) как накрест лежащие углы. Следовательно, треугольники ACB и BDA равны по гипотенузе и острому углу (AB - общая гипотенуза, \(\angle CBA = \angle DAB\)). Из равенства треугольников следует равенство сторон: AD = BC. Что и требовалось доказать. 4. Анализ: Чтобы построить равнобедренный треугольник по медиане, проведённой к основанию, и углу между этой медианой и боковой стороной, нужно: 1. Построить отрезок, равный заданной медиане. 2. Построить угол, равный заданному углу, с вершиной в конце построенного отрезка (медианы). 3. На луче, являющемся стороной построенного угла, отложить отрезок, равный заданной медиане. 4. Соединить полученную точку с началом медианы. 5. Продлить медиану на такое же расстояние, как и до этого (от начала медианы). 6. Соединить полученную точку с вершиной угла. 5. Задача может иметь 0, 1, 2, 3 или 4 решения. Количество решений зависит от взаимного расположения окружности и прямой, а также от заданного расстояния. * Если расстояние больше радиуса, то решений нет. * Если прямая не пересекает окружность и расстояние равно радиусу + расстояние от прямой до центра окружности, то решение одно (точка на перпендикуляре от центра к прямой). * Если прямая пересекает окружность и расстояние равно расстоянию от центра до прямой, то решения два (точки пересечения прямой и окружности). * Если прямая не пересекает окружность и расстояние позволяет построить две параллельные прямые, пересекающие окружность, то решение может быть до 4 точек. В общем случае задача может иметь 0, 1, 2, 3, 4 решения.