4. На рисунке 4 ВК биссектри- са угла АВС. Докажите, что если ∠KMC = 2∠ABK, το ΚΜ || ΑΒ.

Дано: ВК – биссектриса угла АВС, ∠KMC = 2∠ABK.

Доказать: КМ || АВ.

Доказательство:

1. ∠ABK = ∠KBC, так как ВК – биссектриса угла АВС.
2. ∠KMC = 2∠ABK = ∠ABK + ∠KBC.
3. Пусть ∠ABK = α, тогда ∠KMC = 2α.
4. Рассмотрим треугольник ABK. ∠BKA = 180° - (∠BAK + ∠ABK) = 180° - (∠BAK + α).
5. ∠KMC – внешний угол треугольника ABK, значит, ∠KMC = ∠BAK + ∠ABK.
6. 2α = ∠BAK + α, следовательно, ∠BAK = α.
7. ∠BAK = ∠ABK = α, следовательно, треугольник ABK – равнобедренный.
8. ∠KMC = ∠ABK + ∠KBC = α + α = 2α.
9. ∠KMC и ∠BAK – соответственные углы при прямых КМ, АВ и секущей АС. Так как ∠KMC = ∠BAK = 2α, то КМ || АВ.

Ответ: КМ || АВ доказано.