5. В окружности проведен диаметр АВ и равные хорды АС и BD по разные стороны от диаметра. Докажите, что AC||BD.

Дано: Окружность с центром O, AB - диаметр, AC = BD.

Доказать: AC || BD.

Доказательство:

1. ∠ACB = ∠BDA = 90°, так как опираются на диаметр AB.
2. Рассмотрим треугольники ACB и BDA. AB - общая сторона, AC = BD по условию. Следовательно, треугольники ACB и BDA равны по гипотенузе и катету.
3. ∠CAB = ∠DBA как соответственные углы в равных треугольниках.
4. ∠CAB и ∠DBA - накрест лежащие углы при прямых AC, BD и секущей AB. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Ответ: AC || BD, что и требовалось доказать.