На рисунке 130 AB = AC, AP = AQ. Докажите, что: а) треугольник ВОС - равнобедренный; б) прямая ОА проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему.

Дано:

• \[ AB = AC \]
• \[ AP = AQ \]

Доказательство:

1. Докажем, что треугольник ВОС равнобедренный:
   • Рассмотрим треугольники \( АВР \) и \( АСР \).
   • У них \( AB = AC \) (по условию).
   • \( AP = AQ \) (по условию).
   • \( ∠РАВ = ∠РАС \) (общий угол).
   • По двум сторонам и углу между ними, \( АВР = АСР \).
   • Следовательно, \( BP = CQ \).
   • Рассмотрим треугольники \( АВС \) и \( АРС \).
   • \( AB = AC \) (по условию).
   • \( ∠ВАС = ∠РАС \) (общий угол).
   • \( АР = АС - РС \), \( АР = АВ - ВР \).
   • \( АВ = АР + РВ \), \( АС = АС \).
   • Рассмотрим треугольник \( АРС \) и \( АРВ \).
   • \( АР \) - общая сторона.
   • \( АС = АВ \) (по условию).
   • \( ∠РАС = ∠РАВ \) (общий угол).
   • Следовательно, \( РС = РВ \).
   • Теперь рассмотрим треугольники \( АВО \) и \( АСО \).
   • \( AB = AC \) (по условию).
   • \( АО \) - общая сторона.
   • ∠ВАО = ∠САО \) (так как \( АО \) - биссектриса угла \( ∠ВАС \), поскольку \( АВ = АС \)).
   • По двум сторонам и углу между ними, \( АВО = АСО \).
   • Следовательно, \( ВО = СО \).
   • Таким образом, треугольник \( ВОС \) имеет равные стороны \( ВО \) и \( СО \), что означает, что он равнобедренный.
2. Докажем, что прямая ОА проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему:
   • Из равенства треугольников \( АВО \) и \( АСО \) следует, что \( ∠АЕВ = ∠АЕС \).
   • \( ∠АЕВ \) и \( ∠АЕС \) являются смежными углами, их сумма равна 180 градусов.
   • Поскольку они равны, каждый из них равен 90 градусов.
   • Следовательно, \( АО ⊥ ВС \).
   • Также из равенства треугольников \( АВО \) и \( АСО \) следует, что \( ВО = СО \), то есть \( О \) является серединой отрезка \( ВС \).
   • Таким образом, прямая \( АО \) (или \( АО \)) проходит через середину основания \( ВС \) и перпендикулярна к нему.

Ответ: Доказано.