На рисунке 38 углы AKB и DKC равны, луч KE — биссектриса угла AKD. Докажите, что ∠BKE = ∠CKE.

Обозначим ∠AKB = ∠DKC = α, а ∠BKE = x. Поскольку лучи на рисунке расположены в порядке KA, KB, KE, KC, KD, имеем:

∠AKD = ∠AKB + ∠BKE + ∠EKC + ∠CKD = 2α + x + ∠EKC.

Так как KE — биссектриса угла AKD, то ∠AKE = ∠EKD. Следовательно, α + x = ∠EKC + α, откуда x = ∠EKC.

Но ∠EKC = ∠CKE, поэтому ∠BKE = ∠CKE. Что и требовалось доказать.