На рисунке 45 луч OV является биссектрисой угла ZOY, а луч OU — биссектрисой угла XOY. Найдите угол XOZ, если ∠UOV=80°.

Решение:

1. Так как OV — биссектриса \( \angle ZOY \), то \( \angle ZOV = \angle VOY \).
2. Так как OU — биссектриса \( \angle XOY \), то \( \angle XOU = \angle UOY \).
3. По условию, \( \angle UOV = 80° \).
4. \( \angle UOV = \angle UOY + \angle ZOV \) (так как луч OV лежит между OU и OZ, а луч OU лежит между OX и OZ).
5. \( \angle UOY \) и \( \angle ZOV \) — это половинки углов \( \angle XOY \) и \( \angle ZOY \) соответственно.
6. Пусть \( \angle ZOV = \angle VOY = y \), а \( \angle XOU = \angle UOY = x \).
7. Тогда \( \angle UOV = \angle UOY + \angle ZOV = x + y = 80° \).
8. \( \angle XOY = \angle XOU + \angle UOY = x + x = 2x \).
9. \( \angle ZOY = \angle ZOV + \angle VOY = y + y = 2y \).
10. \( \angle XOZ = \angle XOY + \angle ZOY \) (предполагая, что Y лежит между X и Z, а O — вершина).
11. \( \angle XOZ = 2x + 2y = 2(x+y) \).
12. Подставим значение \( x + y = 80° \): \( \angle XOZ = 2 \cdot 80° = 160° \).

Ответ: 160°.