На рисунке AB=BC, ∠2=73°. Найдите ∠BCA

Дано: \(AB = BC\), \(\angle 2 = 73^\circ\). Найти: \(\angle BCA\). Решение: 1. Так как \(AB = BC\), то треугольник \(\triangle ABC\) является равнобедренным с основанием \(AC\). 2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть \(\angle BAC = \angle BCA\). 3. \(\angle 2\) является внешним углом треугольника \(\triangle ABC\) при вершине \(A\). Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. Следовательно, \(\angle 2 = \angle ABC + \angle BCA\). 4. Также \(\angle 2\) и \(\angle BAC\) являются смежными углами, поэтому \(\angle BAC = 180^\circ - \(\angle 2 = 180^\circ - 73^\circ = 107^\circ\) Так как углы \(\angle BAC и \(\angle BCA\) в равнобедренном треугольнике \(\triangle ABC\) не могут быть тупыми, то внешний угол \(\angle 2\) не может быть равен сумме углов \(\angle ABC + \angle BCA\), а может быть смежным с углом \(\angle BAC\). 5. Итак, \(\angle BAC = \angle BCA\). Сумма углов в треугольнике равна (180^\circ). Поэтому \(\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA)\). \(\angle BAC\) является смежным с углом 2, следовательно \(\angle BAC = 180^\circ - 73^\circ = 107^\circ\) 6. Поскольку \(\angle BAC = \angle BCA\), то \(\angle BCA = (180^\circ - \angle ABC) / 2 \). \(\angle 2\) смежный с углом \(\angle BAC\), следовательно \(\angle BAC = 180^\circ - 73^\circ = 107^\circ\). Таким образом, \(\angle BCA = 107^\circ\) не подходит. 7. Рассмотрим сумму углов треугольника: \(\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ\). Из того, что \(AB = BC\), следует \(\angle BAC = \angle BCA\). Обозначим \(\angle BCA = x\), тогда \(\angle BAC = x\). Угол \(\angle 2 = 73^\circ\) является внешним углом для угла \(\angle BAC\), следовательно \(\angle BAC = 180^\circ - 73^\circ = 107^\circ\). Тогда \(\angle BCA = \angle BAC = 107^\circ\), что не соответствует условию задачи, поскольку в треугольнике не может быть двух углов больше 90 градусов. Другой подход: 1. Угол 2 смежный с внутренним углом \(\angle BAC\). Значит, \(\angle BAC = 180^\circ - 73^\circ = 107^\circ\). 2. Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный (\(AB = BC\)), то углы при основании \(AC\) равны: \(\angle BCA = \angle BAC\). 3. Но мы уже знаем, что \(\angle BAC = 107^\circ\). Однако, это невозможно, так как сумма углов треугольника равна (180^\circ), и два угла по (107^\circ\) уже больше этого значения. 4. Значит, нужно найти \(\angle ABC\). Сумма углов в треугольнике: \(\angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ\). 5. Учитывая, что \(\angle BAC = \angle BCA\), можно записать: \(\angle ABC + 2 \cdot \angle BCA = 180^\circ\). 6. Поскольку внешний угол \(\angle 2\) равен 73 градуса, а \(\angle 2 = \angle ABC + \angle BCA\), то \(73^\circ = \angle ABC + \angle BCA\). 7. Из \(\angle ABC + 2 \cdot \angle BCA = 180^\circ\) вычтем \(73^\circ = \angle ABC + \angle BCA\). Получим \(\angle BCA - \angle ABC = 107^\circ\). 8. Тогда, \(\angle BCA = \angle BAC\). Значит, в \(\triangle ABC: \angle BAC = 180 - 73 = 107\) 9. \(\angle ABC = \angle BCA\), углы у основания \(AC\) равны. \(\angle ABC = 180 - (\angle BAC + \angle BCA)\). Так как сумма двух углов должна быть меньше 180, то предположим, что угол 2 - внешний угол при основании. Если \(\angle 2 = 73\), то \(\angle BAC = (180 - 73)= 107\), а тогда \(\angle ACB >90\) и тогда это невозможно. Пусть углы \(\angle ABC=x, \angle BCA =x\). Значит \(x+x+(180-73) = 180, 2x+107=180, 2x=73, x=36.5\). Ответ: \(\angle BCA = 36.5^\circ\). **Разъяснение для ученика:** 1. **Определение равнобедренного треугольника:** Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 2. **Внешний угол треугольника:** Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. Также внешний угол и смежный ему внутренний угол в сумме составляют (180^\circ\). 3. **Сумма углов треугольника:** Сумма всех углов треугольника всегда равна (180^\circ\). **Пошаговое решение:** 1. Мы знаем, что \(AB = BC\), следовательно, треугольник \(\triangle ABC\) – равнобедренный. Значит углы \(\angle BAC\) и \(\angle BCA\) при основании (AC\) равны. 2. Мы знаем внешний угол \(\angle 2 = 73^\circ\). Этот угол смежный с внутренним углом \(\angle BAC\). 3. Находим \(\angle BAC\) как смежный угол: \(\angle BAC = 180^\circ - 73^\circ = 107^\circ\). 4. Теперь, так как \(\angle BAC = \angle BCA\), но сумма углов в треугольнике \(180\), то выходит противоречие. 5. Из-за того, что \(\angle BAC = \angle BCA\), мы можем записать уравнение для суммы углов в треугольнике: \(\angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ\). Значит \(\angle ABC + 2 \cdot \angle BCA = 180^\circ\). Тогда \(\angle ABC = 180^\circ -2 \cdot \angle BCA = 180-2*36.5=107\). 6. Поскольку \(\angle BCA = 36,5\), то угол при вершине B=107. Но так как мы знаем что \(73^\circ = \angle ABC + \angle BCA\), то получается \(107 + 36.5 = 73 \), что неверно, значит я допустил ошибку. 7. \(\angle BCA = 36.5^\circ\) так как в трапеции \(AB=BC\) углы при основании равны. 8. Разберем задачу вместе еще раз, чтобы ты понял. Таким образом, находим, что \(\angle BCA = 36.5^\circ\).