5. На рисунке ABCD — прямоугольник, DHIAC, сторона АВ в 2 раза меньше стороны ВС. Найдите DH, если АС = 10.

Пусть $$AB = x$$, тогда $$BC = 2x$$. Так как ABCD - прямоугольник, то $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{x^2 + (2x)^2} = \sqrt{x^2 + 4x^2} = \sqrt{5x^2} = x\sqrt{5}$$.

По условию $$AC = 10$$, следовательно, $$x\sqrt{5} = 10$$, откуда $$x = \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$$.

Значит, $$AB = 2\sqrt{5}$$ и $$BC = 4\sqrt{5}$$.

Площадь прямоугольника ABCD равна $$S_{ABCD} = AB \cdot BC = 2\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5} = 8 \cdot 5 = 40$$.

Площадь треугольника ADC равна половине площади прямоугольника, то есть $$S_{ADC} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 40 = 20$$.

Также площадь треугольника ADC можно выразить как $$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DH$$. Отсюда $$20 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot DH$$, то есть $$DH = \frac{2 \cdot 20}{10} = 4$$.

Ответ: 4