4. На рисунке АМ — биссектриса угла ВАС. Могут ли отрезки КМ и АС пересечься при их продолжении? Объясните ответ.

Рассмотрим треугольник ABK.

∠BAK = ∠BAC / 2 = 29° (так как АМ - биссектриса).

Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, ∠AKB = 180° - ∠ABK - ∠BAK = 180° - 58° - 29° = 93°.

∠BKM = 180° - ∠AKB = 180° - 93° = 87° (так как смежные).

В треугольнике AKM: ∠KAM = 29°, ∠AKM = 87°, следовательно, ∠AMK = 180° - ∠KAM - ∠AKM = 180° - 29° - 87° = 64°.

Если отрезки КМ и АС пересекутся при продолжении, то углы ∠AMK и ∠MAC должны быть меньше 180°.

∠AMK + ∠MAC = 64° + 29° = 93° < 180°.

Так как сумма углов меньше 180°, то отрезки КМ и АС пересекутся при их продолжении.

Ответ: Да, отрезки КМ и АС пересекутся при их продолжении.