5*. На рисунке АС МК, ОА биссектриса угла МОВ, ВК биссектриса угла СВО. Докажите, что АО ВК.

Дано:

AC || MK,
OA - биссектриса угла MOB,
BK - биссектриса угла CBO

Доказать: $$AO \parallel BK$$.

Доказательство:

1. $$\angle MOA = \angle AOB$$, так как $$OA$$ - биссектриса угла $$MOB$$.
2. $$\angle OBK = \angle KBC$$, так как $$BK$$ - биссектриса угла $$CBO$$.
3. $$\angle MOC = \angle CBO$$, как соответственные углы при параллельных прямых $$AC$$ и $$MK$$ и секущей $$BC$$.
4. $$\angle MOB = \angle CBO$$, как соответственные углы при параллельных прямых $$AC$$ и $$MK$$ и секущей $$BO$$.
5. $$\angle MOA = \angle AOB = \frac{1}{2} \angle MOB$$.
6. $$\angle OBK = \angle KBC = \frac{1}{2} \angle CBO$$.

Так как $$\angle MOB = \angle CBO$$, то и их половины равны, то есть $$\angle AOB = \angle OBK$$.

$$\angle AOB$$ и $$\angle OBK$$ - накрест лежащие углы при прямых $$AO$$ и $$BK$$ и секущей $$BO$$. Значит, если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Следовательно, $$AO \parallel BK$$, что и требовалось доказать.

Ответ: $$AO \parallel BK$$.