На рисунке дан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ, ДЕ ⊥ АВ. 1) Докажите, что треугольник АВС и треугольник ДАЕ подобны. 2) Найдите катеты треугольника АВС, если АВ = 13 см, АЕ = 5,2 см, ДЕ = 2 см. 3) Докажите, что около четырехугольника ВДЕС можно описать окружность.

1) Докажем подобие треугольников АВС и ДАЕ:

Смотри, тут всё просто: треугольник АВС прямоугольный, так как угол С равен 90°. Треугольник ДАЕ также прямоугольный, так как ДЕ перпендикулярна АВ (ДЕ ⊥ АВ). Угол А — общий для обоих треугольников. Следовательно, треугольники АВС и ДАЕ подобны по двум углам (если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны).

2) Найдем катеты треугольника АВС:

Так как треугольники АВС и ДАЕ подобны, то соответствующие стороны пропорциональны. Тогда имеем:

\[\frac{АВ}{АЕ} = \frac{ВС}{ДЕ} = \frac{АС}{АД}\]

Известно, что АВ = 13 см, АЕ = 5,2 см, ДЕ = 2 см. Найдем ВС:

\[\frac{13}{5,2} = \frac{ВС}{2}\]

\[ВС = \frac{13 \cdot 2}{5,2} = \frac{26}{5,2} = 5 \text{ см}\]

Найдем АС: сначала найдем АД, используя теорему Пифагора для треугольника АДЕ:

\[АД = \sqrt{АЕ^2 - ДЕ^2} = \sqrt{5,2^2 - 2^2} = \sqrt{27,04 - 4} = \sqrt{23,04} = 4,8 \text{ см}\]

Тогда:

\[\frac{13}{5,2} = \frac{АС}{4,8}\]

\[АС = \frac{13 \cdot 4,8}{5,2} = \frac{62,4}{5,2} = 12 \text{ см}\]

Итак, катеты треугольника АВС равны: ВС = 5 см, АС = 12 см.

3) Докажем, что около четырехугольника ВДЕС можно описать окружность:

В четырехугольнике ВДЕС угол ВДЕ = 90° (так как ДЕ ⊥ АВ) и угол ВСЕ = 90° (так как треугольник АВС прямоугольный). Сумма этих углов равна:

\[∠ВДЕ + ∠ВСЕ = 90° + 90° = 180°\]

Смотри, как это работает: если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то около этого четырехугольника можно описать окружность. Следовательно, около четырехугольника ВДЕС можно описать окружность.

Ответ: 1) доказано; 2) ВС = 5 см, АС = 12 см; 3) доказано.