В треугольниках АВС и ДЕК АВ = ДЕ, АС = ДК, ВР = EM, где Р и М - середины сторон АС и ДК. 1) Докажите, что треугольник АВС равен треугольнику ДЕК. 2) Найдите Ѕдавс, если ЕМ = 3 см, ДК = 4√2 см, ∠ ЕМК = 135°.

1) Доказательство:

Тут всё просто: у нас даны два треугольника АВС и ДЕК, у которых АВ = ДЕ, АС = ДК и ВР = ЕМ, где Р и М — середины сторон АС и ДК соответственно. Если ВР = ЕМ и они являются медианами, то АВ = ДЕ, АС = ДК, ВС = ЕК. Следовательно, треугольники АВС и ДЕК равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

2) Найдем площадь Sдавс:

Логика такая: так как ЕМ — медиана треугольника ДЕК, то площадь треугольника ДЕК можно найти, зная площадь треугольника АВС.

Если ЕМ = 3 см, ДК = 4√2 см, ∠ ЕМК = 135°, то площадь треугольника ДМК равна:

\[S_{ДМК} = \frac{1}{2} \cdot ЕМ \cdot ДК \cdot sin(∠ЕМК) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4\sqrt{2} \cdot sin(135°) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6 \text{ см}^2\]

Тогда площадь треугольника ДЕК равна:

\[S_{ДЕК} = 2 \cdot S_{ДМК} = 2 \cdot 6 = 12 \text{ см}^2\]

Так как треугольники АВС и ДЕК равны, то их площади равны. Следовательно, Sдавс = 12 см².

Ответ: 12 см²