На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-7;7). Определите количество точек, в которых производная отрицательна.

Решение:

Производная функции \( f'(x) \) отрицательна там, где функция \( f(x) \) убывает.

Рассмотрим график функции \( y = f(x) \) на интервале \( (-7; 7) \).

Функция убывает на следующих интервалах:

• Примерно от \( x = -7 \) до \( x = -4 \) (примерно).
• Примерно от \( x = 0 \) до \( x = 3 \) (примерно).
• Примерно от \( x = 5 \) до \( x = 7 \) (примерно).

В точках, где функция имеет локальные минимумы или максимумы, производная равна нулю. В точках перегиба, где меняется направление выпуклости, но функция продолжает убывать или возрастать, производная может быть как положительной, так и отрицательной.

Нам нужно посчитать количество точек, где производная отрицательна, то есть где функция убывает. Это участки графика, идущие вниз при движении слева направо.

Визуально видно, что функция убывает на следующих промежутках:

• От \( x \) приблизительно \( -7 \) до \( x \) приблизительно \( -4 \).
• От \( x \) приблизительно \( 0 \) до \( x \) приблизительно \( 3 \).
• От \( x \) приблизительно \( 5 \) до \( x \) приблизительно \( 7 \).

Однако, вопрос спрашивает о количестве точек, в которых производная отрицательна. Производная отрицательна на интервалах убывания. Если вопрос подразумевает дискретные точки, то это точки, где функция именно убывает, а не просто локальные минимумы.

По графику видно, что производная отрицательна на участках, где график идет вниз.

Рассмотрим точки, где производная равна нулю (вершины гор и впадин): примерно \( x = -5.5, x = -1, x = 2, x = 4, x = 6.5 \).

На интервалах между этими точками функция ведет себя следующим образом:

• \( (-7; -5.5) \) — убывает (производная отрицательна)
• \( (-5.5; -1) \) — возрастает (производная положительна)
• \( (-1; 2) \) — убывает (производная отрицательна)
• \( (2; 4) \) — возрастает (производная положительна)
• \( (4; 6.5) \) — убывает (производная отрицательна)
• \( (6.5; 7) \) — возрастает (производная положительна)

Таким образом, производная отрицательна на трех интервалах. Если вопрос подразумевает количество точек, где производная отрицательна, то это все точки внутри этих интервалов. Но обычно такой вопрос подразумевает подсчет точек, где происходит смена характера монотонности или касательная имеет отрицательный наклон.

Если интерпретировать вопрос как «на скольких интервалах функция убывает», то ответ 3. Если вопрос о количестве точек, где производная отрицательна, то это бесконечное множество точек на этих интервалах.

Часто в таких задачах спрашивают о точках, где производная равна нулю, или о количестве точек экстремума. Так как здесь спрашивают о количестве точек, где производная отрицательна, и дан график, скорее всего, имеется в виду точки, где функция явно убывает.

Давайте посмотрим на характерные точки графика:

• \( y \) имеет локальный максимум около \( x = -5.5 \).
• \( y \) имеет локальный минимум около \( x = -1 \).
• \( y \) имеет локальный максимум около \( x = 2 \).
• \( y \) имеет локальный минимум около \( x = 4 \).
• \( y \) имеет локальный максимум около \( x = 6.5 \).

Производная отрицательна на интервалах \( (-7; -5.5) \), \( (-1; 2) \), \( (4; 6.5) \).

Если вопрос о количестве точек, то это может означать количество углов или изломов на графике, где функция убывает. Однако, здесь гладкая функция.

Наиболее вероятная интерпретация: посчитать количество интервалов убывания, или количество локальных экстремумов, которые находятся на возрастающих участках, или же количество точек, где касательная имеет отрицательный наклон.

Поскольку в задачах ЕГЭ часто спрашивают о количестве точек, где производная равна нулю, или о количестве точек экстремума, а здесь спрашивают о количестве точек, где производная отрицательна, то, вероятно, вопрос подразумевает количество сегментов, где функция убывает.

Рассмотрим точки, где функция явно убывает:

• Начало графика до первого локального максимума.
• Между локальным минимумом и локальным максимумом.
• Между локальным максимумом и локальным минимумом.

Есть 3 таких участка.

Если же вопрос подразумевает именно точки, то это может быть связано с точками, где производная равна нулю, но меняет знак с плюса на минус. Однако, здесь нужно посчитать, где производная отрицательна.

Проанализируем график: функция убывает на участках, где \( f'(x) < 0 \). Это происходит:

• Приблизительно от \( -7 \) до \( -5.5 \)
• Приблизительно от \( -1 \) до \( 2 \)
• Приблизительно от \( 4 \) до \( 6.5 \)

Это три интервала. Если вопрос подразумевает количество участков, где производная отрицательна, то ответ 3.

Если же вопрос подразумевает конкретные точки, то это может быть связано с точками, где функция достигает минимальных значений, или же точки, где меняется характер монотонности.

В контексте ЕГЭ, если спрашивают о