Найдите значение выражения \(\frac{-10\sin 110°}{\sin 55°\cdot \sin 35°}\).

Решение:

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: \( \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha \).

В числителе у нас \( \sin 110° \). Заметим, что \( 110° = 2 \cdot 55° \). Поэтому мы можем записать:

\[ \sin 110° = \sin(2 \cdot 55°) = 2\sin 55°\cos 55° \]

Подставим это в исходное выражение:

\[ \frac{-10\sin 110°}{\sin 55°\cdot \sin 35°} = \frac{-10 \cdot (2\sin 55°\cos 55°)}{\sin 55°\cdot \sin 35°} \]

Сократим \( \sin 55° \):

\[ = \frac{-20\cos 55°}{\sin 35°} \]

Теперь вспомним, что \( \cos \alpha = \sin(90° - \alpha) \). Следовательно:

\[ \cos 55° = \sin(90° - 55°) = \sin 35° \]

Подставим это в выражение:

\[ = \frac{-20\sin 35°}{\sin 35°} \]

Сократим \( \sin 35° \):

\[ = -20 \]

Ответ: -20