3. На рисунке изображено дерево некото- рого случайного опыта S. а) Чему равна условная вероятность P(B|A)? б) Найдите неизвестные вероятности х, уиг. в) Перечислите цепи, которые изобра- жают исходы, благоприятствующие событию С. г) Найдите вероятность события С.

Решение:

а) Условная вероятность P(B|A) - это вероятность наступления события B при условии, что событие A уже произошло. Из рисунка видно, что P(B|A) = 2/7.

б) Найдем неизвестные вероятности x, y и z.

Начнем с x. Вероятность события \(\overline{A}\) равна 1/3. Значит, чтобы найти х, нужно решить уравнение:

\[ x = P(\overline{A}) = \frac{1}{3} \]

Далее найдем у. Известно, что вероятность события B при условии A равна 2/7. Тогда вероятность события \(\overline{B}\) при условии A равна:

\[ y = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \]

Теперь найдем z. Зная, что вероятность события \(\overline{A}\) равна 1/3, можно найти вероятность события \(\overline{B}\) при условии \(\overline{A}\). Так как сумма вероятностей в каждой ветке дерева равна 1:

\[ z = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]

в) Перечислите цепи, которые изображают исходы, благоприятствующие событию С.

• A и \(\overline{B}\)
• \(\overline{A}\) и B

г) Найдите вероятность события С.

Вероятность события С равна сумме произведений вероятностей по цепям, благоприятствующим этому событию:

\[ P(C) = P(A) \cdot P(\overline{B}|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{7} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{15}{35} + \frac{2}{15} = \frac{45 + 14}{105} = \frac{59}{105} \approx 0.562 \]

Ответ: a) 2/7, б) x = 1/3, y = 5/7, z = 2/3, в) A и \(\overline{B}\), \(\overline{A}\) и B, г) 59/105 ≈ 0.562