На рисунке изображены график дифференцируемой функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Решение:

Значение производной дифференцируемой функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. На рисунке изображена касательная к графику функции \( y = f(x) \) в точке \( x_0 \).

Угол наклона касательной равен углу между касательной и положительным направлением оси \( Ox \).

Из рисунка видно, что касательная проходит через точки \( (x_0, y(x_0)) \) и \( (1, 1) \).

Также видно, что касательная образует прямой угол с осью \( Ox \) при \( x = 1 \) и \( y = 1 \).

Найдем два удобных для расчета точки на касательной. Одна точка, судя по графику, это \( (0, 3) \).

Вторая точка, судя по графику, это \( (2, 0) \).

Найдем угловой коэффициент (наклона) прямой, используя эти две точки:

\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 3}{2 - 0} = \frac{-3}{2} \]

Таким образом, производная функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \) равна угловому коэффициенту касательной.

\[ f'(x_0) = m = -\frac{3}{2} \]

Ответ: -1.5